گام به گام ریاضی نهم - فصل ۴ - توان و ریشه
.
.
.
فصل چهارم (توان و ریشه) کتاب ریاضی پایه نهم با توضیحی از یک قطره آب که شامل حدود ۳۳ میلیارد میلیارد مولکول یا به عبارت دیگر ۳۳,۰۰۰,۰۰۰,۰۰۰,۰۰۰,۰۰۰,۰۰۰ مولکول است که میتوان آن را به صورت ۱۰۱۹×۳/۳ نمایش داد، شروع میشود. هرگونه حیاتی به آب نیاز دارد. قدر این نعمت الهی را بدانیم.
هر چیز زنده ای را از آب پدید آوردیم.
(سوره انبیا، آیه 30)
فصل 4 کتاب ریاضی نهم شامل چهار درس میباشد :
توان صحیح
در سالهای گذشته با توانهای طبیعی یک عدد آشنا شدهاید؛ برای یادآوری بیشتر میتوانید فیلمهای فصل ۷ ریاضی هشتم را دوباره مرور کنید. اگر عددی چند بار در خودش ضرب شود برای خلاصهنویسی از توان استفاده میشود.
در این رابطه: آموزش توان و جذر ریاضی هشتم - فصل هفتم
در ادامه بیان شده است که هر عدد غیر صفر، به توان صفر برابر یک است (اثبات در پایه هشتم). سپس به توانهای منفی اشاره شده است که بیشتر برای نوشتن نماد علمی در این فصل لازم میشود. همچنین طریقهی تبدیل توان منفی به مثبت به عنوان یک نکته کلیدی آورده شده است. و در صفحه ۶۰ روش حل عددهای تواندار منفی با چند مثال توضیح داده شده است. کار در کلاس صفحه ۶۱ کتاب درسی، شامل سؤالاتی به صورت: جای خالی، وصل کردنی، و بدست آوردن پاسخ سوالات تواندار است.
ضرب اعداد تواندار
- الف) اگر پایهها برابر باشند: یکی از پایهها را نوشته و توانها را با هم جمع میکنیم.
- ب) اگر توانها برابر باشند: یکی از توانها را نوشته و پایهها را در هم ضرب میکنیم.
تقسیم اعداد تواندار
- الف) اگر پایهها برابر باشند: یکی از پایهها را نوشته و توانها را از هم کم میکنیم.
- ب) اگر توانها برابر باشند: یکی از توانها را نوشته و پایهها را بر هم تقسیم میکنیم.
قوانین توان در ضرب و تقسیم با پایههای برابر یا توانهای مساوی که در سالهای قبل بیان شده است؛ دوباره آورده شده است. با این تفاوت که این روشها و قوانین برای توانهای منفی نیز حکمفرما میباشد. کار در کلاس صفحه ۶۲، سوالات مربوط به پایه برابر را پوشش داده است و کار در کلاس صفحه ۶۳ سوالات مربوط به توانهای برابر را.
نکته 1: اگر در ضرب و تقسیم اعداد تواندار پایهها و توانها برابر نباشند از تجزیه استفاده میکنیم.
نکته 2: اگر عدد صحیحی (غیر از صفر) از صورت به مخرج و یا از مخرج به صورت انتقال داده شود توان آن قرینه میشود.
تمرینهای صفحه ۶۳ و ۶۴ کتاب ریاضی نهم، دارای سوالات خوب، متنوع و مفهومی هستند که دانشآموزان عزیز حتما باید آنها را به دقت حل کنند.
(معادلات توانی: هر معادلهای كه مجهول آن در توان قرار گرفته باشد معادله توانی نامیده میشود. برای حل این نوع معادلهها ابتدا پایهها را در دو طرف تساوی یكسان می كنیم، سپس از این خاصیت استفاده میكنیم كه اگر دو عبارت تواندار با پایههای مساوی برابر باشند باید توانهای آنها نیز برابر باشند.)
نماد علمی
برای نوشتن و بیان راحتر عددهای بزرگ (خیلی بزرگ) یا عددهای کوچک (بسیار کوچک) از نماد علمی استفاده میکنند. اینگونه نمایش به جز سادگی در نوشتن، محاسبات را آسانتر میکند و در ضمن نوعی نظم و هماهنگی در نمایش عددهای بزرگ (یا کوچک) به شمار میآید. برای نوشتن عددها به صورت نماد علمی در محاسبات ریاضی، ابتدا هر عدد را به صورت یک عدد اعشاری مثبت با یک رقم صحیح در توانی از عدد 10 نمایش میدهند.
الف) نماد علمی اعداد خیلی بزرگ (توان مثبت)
ابتدا یک رقم از سمت چپ جدا کرده سپس به تعداد رقمهای بعد از ممیز توانی از عدد ۱۰ مینویسیم.
ب) نماد علمی اعداد خیلی کوچک (توان منفی)
ابتدا یک رقم مخالف صفر از سمت چپ جدا کرده سپس به تعداد رقمهای قبل از ممیز توانی از عدد ۱۰ مینویسیم.
کار در کلاس صفحه ۶۶ صرفاٌ به نوشتن و نمایش عددهای کوچک و بزرگ به صورت نماد علمی بسنده کرده است؛ اما تمرینات صفحه ۶۷، سؤالات توان و نماد علمی را با هم ترکیب کرده است و در بعضی سوالات به کاربرد ریاضی در علوم دیگر پرداخته است. (قطر خورشید و زمین، فاصله مریخ و زحل از زمین، اندازه یک باکتری)
ریشه گیری
با مربع (توان دوم یک عدد) و مکعب (توان سوم یک عدد) در سالهای گذشته آشنا شدهاید. حال میخواهیم به بحث ریشه بپردازیم. در واقع مفهوم ریشه دوم و سوم یک عدد، یعنی توان دوم یا سوم چه عددهایی برابر عدد مورد نظر ما است.
الف) ریشه دوم اعداد
هر عدد مثبت، دارای دو ریشه دوم است: (یکی مثبت و دیگری منفی)
نکته: اعداد منفی جذر (ریشه دوم) ندارند. (چون مجذور دو عدد مثل هم هیچ وقت منفی نمیشود)
ب) ریشه سوم اعداد
هر عدد دارای یک ریشه سوم است.
کار در کلاس مهم صفحه ۶۹ کتاب درسی ریاضی نهم، ابتدا با آوردن چند مورد به بررسی اعداد رادیکالی با فرجههای دو و سه میپردازد و سپس با استفاده از قوانین قدرمطلق از دانشآموزان خواسته حاصل عبارتها را بدست آورند. (برای یادآوری درس قدرمطلق میتوانید دوباره فیلمهای آموزشی این فصل را نگاه کنید.)
در این رابطه: قدر مطلق و اعداد رادیکالی - فصل ۲
در سال گذشته برای عددهای مثبت، ضرب و تقسیم رادیکالها بیان شده بود؛ بنابراین اگر دو رادیکال دارای ریشه (فرجه) یکسان باشند میتوانیم آنها را در هم ضرب یا بر هم تقسیم کنیم. و اگر رادیکالها دارای عدد صحیح باشند ابتدا اعداد صحیح را ضرب یا تقسیم کرده سپس رادیکالها را ضرب یا تقسیم میکنیم.
سوال ۲ کار در کلاس صفحه ۷۰ بر این نکته تاکید دارد که با استفاده از تجزیه بتوانیم رادیکالها (با فرجه ۲ و ۳) را سادهتر کنیم؛ تا در محاسبات به ما کمک کنند. (بعضی از رادیکالها را میتوان ساده کرد؛ به این صورت که برای عدد یک ضربی بنویسیم که یکی از آن اعداد ریشه دوم یا ریشه سوم داشته باشد.)
تمرینهای صفحه ۷۱ و ۷۲ کتاب درسی، به خوبی توانسته تمامی مطالب مورد نیاز را پوشش دهد و برای درس بعدی دانشآموزان را آماده میکند.
جمع و تفریق رادیکالها
برای جمع و تفریق رادیكالها قانون خاصی وجود ندارد و فقط میتوان جملاتی كه قسمت رادیكالی آنها مثل هم باشند جمع یا تفريق كرد يعنی جملاتی كه فرجه و عبارت داخل رادیكال آنها يكسان است قابل جمع و تفريق هستند. پس اگر قسمت رادیکالی عبارتها پس از ساده کردن مثل هم (کاملاً یکسان) باشند میتوانیم آن ها را همانند عبارتهای جبری با هم جمع یا تفریق کنیم. برای یادگیری بهتر میتوانید کار در کلاس صفحه ۷۵ را به دقت حل کنید.
بحث آخر این فصل، گویا کردن مخرج کسرهای رادیکالی میباشد که برای سالهای آینده بسیار مهم و کاربردی است. گاهی اوقات برای ساده کردن لازم است مخرج کسر را از حالت رادیکالی بیرون بیاوریم (مخرج فاقد رادیكال) که برای این کار صورت و مخرج را در عددی ضرب میکنیم تا مخرج از حالت رادیکالی خارج شود.
الف) مخرج کسر دارای ریشه دوم باشد: صورت و مخرج را در همان رادیکال مخرج ضرب میکنیم.
ب) مخرج کسر دارای ریشه سوم باشد: صورت و مخرج را در همان رادیکال مخرج ضرب کرده با این تفاوت که عدد زیر رادیکال به توان ۳ برسد. برای این کار فرجه را از توان کم کرده تا توان عدد زیر رادیکال مشخص شود.
تمرینات صفحات ۷۶ و ۷۷ کتاب درسی، غیر از ضرب و تقسیم رادیکال و جمع و تفریق آنها، موضوعات زیادی مانند قدرمطلق، مسائل هندسه (محیط و مساحت) و ... را نیز پوشش داده است.
.
.
.
آموزش مرتبط : فیلمهای آموزشی تدریس ریاضی نهم - فصل چهارم (کلیک کنید...)
توجه: دانشآموزان عزیز توجه داشته باشید که برای یادگیری بهتر و موفق شدن در امتحان ریاضی پایه نهم بهتر است خودتان روی تمرینات و سوالات خوب فکر کنید و سعی کنید جوابی برای آنها پیدا کنید و در مرحله آخر سراغ جواب بروید. سریعا پاسخ را نگاه نکنید. ابتدا خودتان جوابی بنویسید و بعد راهحل درست را نگاه کنید.
.
.
دانلود PDF رایگان حلالمسائل ریاضی نهم فصل ۴
گردآورنده: دنیاها، دانشنامۀ فارسی | www.Donyaha.ir
