گام به گام ریاضی نهم - فصل ۸ - حجم و مساحت
.
.
.
قصل ۸ کتاب ریاضی پایه نهم: در کتاب ریاضی هفتم در مورد شکلهای فضایی، توضیحاتی داشتیم و تقسیمبندی کلی آنها به سه دسته حجمهای منشوری، کروی و هرمی را انجام دادیم. همچنین در آنجا با دستورات محاسبه مساحت جانبی و کل و حجم منشور و حجمهای منشوری آشنا شدیم. در این کتاب دنباله این کار را با ارائه مفاهیم و دستورات مرتبط با حجمهای کروی و هرمی پی میگیریم. ابتدا دستور حجم کره را به روش تجربی به دست میآوریم، سپس به دستور مساحت رویه کره با همان روش میپردازیم. در درس دوم دستور حجم هرم را به روشی نسبتاً دقیق به دست میآوریم و کمی هم به مساحت آن توجه میکنیم و دستور حجم مخروط را نیز از تعمیم آن به دست میآوریم و در درس سوم (درس آخر) جمعبندی از دستورات قبلی محاسبه سطح و حجم داریم و در کنار آن نگاهی به تقویت قوه شهود فضایی دانشآموزان نیز داریم. برای این منظور تمریناتی در ارتباط با ایجاد شکلهای فضایی از طریق دوران شکلهای مسطح هندسی و نیز کار با گسترده شکلهای فضایی و نیز تصور هندسی نسبت به برشهای مقطعی شکلهای فضایی داریم.
فصل 8 کتاب ریاضی نهم شامل سه درس میباشد:
- درس اول : حجم و مساحت کره
- درس دوم : حجم هرم و مخروط
- درس سوم : سطح و حجم
حجم و مساحت کره
ابتدای درس، پس از یادآوری انواع حجمها از کتاب هفتم، تعریف کره با استفاده از مشابهت بین مفاهیم دایره (در صفحه) و کره در فضا انجام میگیرد:
کره مجموعه نقاطی از فضا است که همه آن نقطهها از یک نقطه در فضا به نام مرکز، به یک فاصله ثابت و مشخص هستند. به این اندازه، شعاع کره میگوییم.
در ادامه با انجام دو فعالیت در صفحات ۱۳۱ و ۱۳۳، دانشآموزان با دستورات محاسبه حجم و سطح کره به طور عملی آشنا میشوند، بدون اینکه نیازی به حفظ کردن آنها داشته باشند. هدف از انجام این دو فعالیت این است که دانشآموزان با این دو اصل آشنا شوند:
- حجم کرهای به شعاع R، برابر ۲/۳ حجم استوانهای است که این کره در آن قابل محاط شدن است.
- مساحت رویه کرهای به شعاع R، چهار برابر مساحت دایرهای به همین شعاع است.
در کار در کلاس صفحه ۱۳۲ نیز روی همین موضوع کار شده است و محاسبهای عملی در ارتباط با حجم کرهای محاط در استوانه انجام میگیرد تا همان فعالیت دوباره به صورت محاسباتی تکرار شود.
در پایان این درس از کتاب ریاضی نهم در صفحه ۱۳۴، سه سوال مهم و نکتهدار آورده شده است. در تمرین ۱، هدف کارکردن برروی اعداد بزرگ و یادآوری نماد علمی است. در تمرین ۲، توجه میکنیم که ارتفاع کپسول با ارتفاع استوانه برابر نیست (بدفهمی رایج) ارتفاع نیمکره بالایی، مساوی شعاع قاعده استوانه، یعنی ۳۰ سانتیمتر است و لذا ارتفاع استوانه ۷۰ سانتیمتر است.
حجم هرم و مخروط
در ابتدای این درس از کتاب درسی پایه نهم، تعریفهای اولیه مربوط به هرم انجام میگیرد. نکتهای که باید به آن توجه کرد و ابهام دانشآموزان را نسبت به آن رفع نمود، این است که قاعده هرم نیز جزء وجههای آن است و در فعالیت صفحه ۱۳۵ درس نیز روی این امر تأکید شده است. در قسمت دوم فعالیت (صفحه ۱۳۵ و ۱۳۶) هدف این است که دانشآموزان به طور شهودی به این حقیقت واقف شوند که اگر دو هرم دارای مساحتهای قاعده یکسان و ارتفاعهای برابر باشند، حجمهای برابر دارند. اثبات دقیق این موضوع به کمک «اصل کاوالیری» انجام میشود. کار در کلاس صفحه ۱۳۶ هم معطوف به همین موضوع است. در فعالیت صفحه ۱۳۷ میخواهیم از همین موضوع استفاده کرده و دستور حجم هرم را استنتاج نمائیم.
کار در کلاس و فعالیت بعدی نیز به کار با دستور حجم هرم اختصاص دارد. در فعالیت صفحه ۱۳۸ کتاب ریاضی، کاربرد قضیه فیثاغورس را در محاسبه ارتفاع هرم منتظم با قاعده مربع میبینیم و از آنجا میتوانیم حجم هرم را به دست آوریم. در کار در کلاس صفحه ۱۳۹، که یادآوری از فعالیتی از کتاب ریاضی هشتم میباشد، مخروطی را به کمک قطاع میسازیم.
مخروط، شکلی شبیه به هرم منتظم است که قاعده آن به شکل دایره و پای ارتفاع مخروط مرکز این دایره است.
در آخر درس سه سوال به عنوان تمرین در صفحه ۱۳۹ برای تثبیت نکان کلیدی درس آورده شده است.
سطح و حجم
در ابتدای این بخش، فعالیتی (صفحه ۱۴۰) مطرح شده که بی مقدمه، گسترده شکلهای فضایی را مطرح کرده و اندازهها را روی آن مشخص میکند. دانشآموزان باید بتوانند با توجه به اندازههای روی شکل فضایی آن اندازهها را در گسترده آن شکل، همانندسازی کرده و از روی آنها مساحتها را اندازهگیری کنند. یکی از محاسباتی که در اینجا یادآوری میشود، استفاده از قضیه فیثاغورس برای محاسبه مساحت مثلثهای متساویالساقین با استفاده از طولهای ساق و قاعده آنها است.
بخش (۲) کار در کلاس هم همین بحث را پی میگیرد (محاسبه مساحت جانبی هرمی با قاعده شش ضلعی منتظم، که مساوی شش برابر مساحت مثلثی متساویالساقین است.) فعالیت صفحه ۱۴۱، به هدف سوم، یعنی دوران شکلهای هندسی و رابطه آن با شکلهای فضایی میپردازد. دانشآموزان باید به این توانایی برسند که بتوانند دوران یافته شکلهای مسطح را در فضا تجسم کرده و آنها را رسم کنند.
به نمونههای زیر توجه شود:
دوران یافتۀ ذوزنقۀ متساوی الساقین حول محور تقارن AB (مخروط ناقص)
دوران یافتۀ ذوزنقۀ متساوی الساقین حول قاعدۀ بزرگ آن (یک استوانه و دو مخروط متصل به آن)
دوران یافتۀ مستطیل حول ضلع AB (استوانه)
دوران یافتۀ مثلث متساوی الاضلاع حول یک ضلع آن (دو مخروط که قاعدۀ مشترک دارند)
دوران یافتۀ متوازی الاضلاع حول ضلع بزرگ آن (یک استوانه که از یک طرف یک مخروط از آن حذف شده و از طرف دیگر مخروط به آن وصل شده است)
دوران یافتۀ ذوزنقۀ متساوی الساقین حول قاعدۀ کوچک (استوانه ای که دو مخروط از آن حذف شده اند)
در کار درکلاس صفحه ۱۴۲، دانشآموزان میتوانند با تجربه قبلی خود، تشخیص دهند که از دوران ربع دایره، حول شعاع آن، یک نیمکره ایجاد میشود و با داشتن طول شعاع آن، حجم آن را به دست آورند. در فعالیت بعدی (در سه قسمت) تمرکز بر روی تقویت حس شهود و تجسم فضایی دانشآموزان است. در قسمت اول و دوم، تجسم نگاه فضایی به یک شکل و تصویری که در ذهن از آن (از سمت و سوهای مختلف) ایجاد میشود مد نظر است. در قسمت سوم و چهارم تمرکز بر روی تقویت حس شهود و تجسم نسبت به مقطعهای حاصل از برش شکلهای فضایی است. کار در کلاس صفحه ۱۴۲ نیز همین موضوع را دنبال میکند.
در پایان فصل هشتم کتاب ریاضی پایه نهم، در صفحه ۱۴۳ دو سوال به عنوان تمرین داده شده است. در تمرین ۱ نسبت حجم به سطح در مورد چهار شکل خواسته شده است و چنانچه دیده میشود در مورد کره، این نسبت از همه موارد دیگر، بزرگتر است. این نسبت بیانگر آن است که به لحاظ اقتصادی، ساختن شکلها به شکل کره به صرفهتر است، یعنی در میان اشکال هندسی با مساحت برابر، حجم کره بیشتر است، زیرا توزیع حجم آن در سطح واحد، بیشتر است. هدف از تمرین ۲، ایجاد یک شهود ابتدایی نسبت به شکلی فضایی است که از یک ورقه مسطح ساخته میشود.
.
.
.
آموزش مرتبط : فیلمهای آموزشی تدریس ریاضی نهم - فصل هشتم (کلیک کنید...)
توجه: دانشآموزان عزیز توجه داشته باشید که برای یادگیری بهتر و موفق شدن در امتحان ریاضی پایه نهم بهتر است خودتان روی تمرینات و سوالات خوب فکر کنید و سعی کنید جوابی برای آنها پیدا کنید و در مرحله آخر سراغ جواب بروید. سریعا پاسخ را نگاه نکنید. ابتدا خودتان جوابی بنویسید و بعد راهحل درست را نگاه کنید.
.
.
دانلود PDF رایگان حلالمسائل ریاضی نهم فصل ۸
گردآورنده: دنیاها، دانشنامۀ فارسی | www.Donyaha.ir
