گام به گام ریاضی نهم - فصل 3 - استدلال و اثبات در هندسه

.

.

.

فصل سوم (استدلال و اثبات در هنسه) کتاب ریاضی پایه نهم با تصاویری از دانه های برف آغاز می شود. بارش برف از آسمان، رحمت الهی را با خود به زمین می آورد و در عین حال نماد زیبایی زمستان است. اما شاید جالب باشد بدانید که این دانه های زیبای متقارن که اغلب شش شاخه هستند، علیرغم آنکه میلیاردها دانه اند، اما هر کدام شکل منحصر به خود را دارند و هیچ دو تایی از آنها «همنهشت» نیستند.

در این رابطه: چرا بلورهای برف شش پر و متقارن و سفید هستند؟!

مطالب این فصل پایه و اساس هندسه در دوره متوسطه دوم می باشد و کمک بسیار زیادی به یادگیری هندسه در سال های بعد می کند. به همین دلیل دانش آموزان پایه نهم باید این فصل را به خوبی یاد بگیرند و مطالب آن را به خوبی درک کنند.

با حکمت و اندرز نیکو به راه پروردگارت دعوت نما و با آنها به نیکوترین روش استدلال و مناظره کن!

(سوره ٔ نحل، آیه 125 )

فصل 3 کتاب ریاضی نهم شامل پنج درس می باشد :

• درس اول : استدلال
  
• درس دوم : آشنایی با اثبات در هندسه
  
• درس سوم : همنهشتی مثلث ها
• درس چهارم : حل مسئله در هندسه
• درس پنجم : شکل های متشابه

استدلال

استدلال، یعنی دلیل آوردن و استفاده از دانسته های قبلی، برای معلوم کردن موضوعی که در ابتدا مجهول بوده است. در بسیاری از کارهای روزمره به استدلال نیاز پیدا می کنیم. راه های متفاوتی برای استدلال کردن هست که اعتبار و قابل اعتماد بودن آنها می تواند یکسان نباشد. به استدلالی که موضوع موردنظر را به درستی نتیجه بدهد، اثبات می گوییم.

در کار در کلاس صفحه 33 به موضوع مثال نقض پرداخته شده است و از دانش آموز می خواهد با آوردن مثلثی که یک زاویه باز (زاویه بیشتر از 90 درجه و کمتر از 180 درجه) دارد، نتیجه بگیرد که؛ در هر مثلث، محل برخورد ارتفاع ها، همیشه درون مثلث نیست.
در فعالیت صفحه 34 با آوردن شکل های زیر مشاهده کردن و یا استفاده از سایر حواس پنجگانه برای اطمینان از درستی یک موضوع کافی نیست و رد می شود.

فعالیت صفحه 34 کتاب ریاضی نهمبنابراین، هرچند به طور معمول در ریاضیات و به ویژه در هندسه به کار بردن شکل ها، ترسیم آنها و استفاده از شهود به تشخیص راه حل ها و ارائه حدس های درست کمک زیادی می کند، باید توجه کرد به تشخیصی که براساس این روش ها بوده است، نمی توانیم به طور کامل اطمینان کنیم.

در آخر این درس با آوردن چند سوال در تمرینات صفحه 35 و 36 کتاب درسی، از دانش آموزان خواسته شده است در مورد درستی استدلال ها بحث کنند.

آشنایی با اثبات در هندسه

در درس اول یاد گرفتید که دیدن و استفاده از حواس و یا ارائه مثال های متعدد و همچنین توجه به ابعاد ظاهری برای ایجاد اطمینان از درستی یک موضوع کفایت نمی کند و باید از دلیل های منطقی و قانع کننده کمک گرفت و با استدلال، درستی آن موضوع را ثابت کرد. در روند استدلالمان از اطلاعات مسئله (فرض یا داده ها) و حقایق و اصولی که درستی آنها از قبل برای ما معلوم شده است برای رسیدن به خواسته مسئله (حکم) استفاده می کنیم.

اولین اقدامی که برای اثبات انجام می دهیم، تشخیص فرض، حکم و واقعیت های مرتبط با آن مسئله است که از قبل آنها را می دانستیم. سوال بسیار مهم فعالیت صفحه 38 که می خواهد اثبات کنید: قطرهای مستطیل، مساوی است، برای یادگیری بهتر تشخیص فرض، حکم و اثبات آنچه سوال خواسته است، آورده شده است.

 

بنابراین به طور کلی:

• فرض: اطلاعات و داده های سوال یا دانستنی های قبلی ما از یک موضوع درست است.
• حکم: خواسته مسئله یا آنچه سوال از ما می خواهد که اثباتش کنیم.
  

کار در کلاس صفحه 38 با آوردن 3 سوال می خواهد؛ فرض و حکم را برای مسئله های داده شده را مشخص کنید. سپس در فعالیت و کار در کلاس صفحات 39 و 40 راه را برای استدلال کردن و رسیدن به پاسخ برای اثبات باز کرده است. اثبات سوال مهم زیر نیز در این رابطه است.

ثابت کنید هر نقطه روی عمودمنصف یک پاره خط (مثلا AB) از دو سر آن پاره خط (AB) به یک فاصله است.

موضوع تعمیم نیز بحث جدیدی برای پایه نهم است که در سال های بعد کاربردی تر می شود و اشاره به این دارد: 

وقتی خاصیتی را برای یک عضو از یک مجموعه ثابت کردیم، اگر تمام ویژگی هایی که در استدلال خود به کار برده ایم در سایر عضوهای آن مجموعه نیز باشد، می توان درستی نتیجه را به همه عضوهای آن مجموعه تعمیم داد.

این درس شامل چند مسئله مهم دیگر نیز است:

• مجموع زاویه های داخلی مثلث °180 است.
• زاویه های متقابل به رأس با هم برابر است.
  
• در هر مثلث، اندازه ی زاویه خارجی با مجموع اندازه های دو زاویه داخلی غیرمجاور با آن برابر است. (سوال 1 تمرین صفحه 42)
  
• ثابت کنید هر نقطه که روی نیمساز زاویه قرار دارد از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است. (سوال 4 تمرین صفحه 43)
  

همنهشتی مثلث ها

با مفهوم همنهشتی مثلث ها در پایه هشتم آشنایی پیدا کرده اید. در کتاب ریاضی نهم به صورت جامع و کاربردی به آن پرداخته شده است. برای اثبات سوالات همنهشتی مثلث ها باید دنبال 3 دلیل (یا 2 دلیل) بگردیم تا بتوانیم آنچه سؤال از ما می خواهد اثباتش کنیم.

همنهشتی مثلث ها در حالت کلی:

• حالت اول: سه ضلع مساوی (ض ض ض)
• حالت دوم: دو ضلع برابر و یک زاویه مساوی بین آنها (ض ز ض)
• حالت سوم: دو زاویه برابر و یک ضلع مساوی بین آنها (ز ض ز)

دو حالت همنهشتی ویژه مثلث های قائم الزاویه:

• حالت اول: وتر برابر و داشتن یک ضلع مساوی (و ض)
• حالت دوم: وتر برابر و داشتن یک زاویه ی تند (حاده) مساوی (و ز)

تمرین های صفحه 48 کتاب درسی ریاضی نهم، دانش آموز را برای اثبات مسائل همنهشتی مثلث ها به خوبی آماده می کند. 

حل مسئله در هندسه

برای حل مسائل هندسی، راه حل کلی وجود ندارد؛ اما می توان مراحلی را مشخص کرد که برای هر مسئله هندسه، آنها را توصیه می کنند.

قدمهای حل مسئله

• 1. صورت مسئله را به دقت بخوانید و مفاهیم تشکیل دهنده آن را بشناسید.
  
• 2. اگر مسئله فاقد شکل است با توجه به صورت مسئله، یک شکل مناسب برای آن رسم کنید.
  
• 3. داده های مسئله (فرض) و خواسته های آن (حکم) را تشخیص داده و در یک جدول بنویسید.
• 4. برای رسیدن از فرض به حکم راه حلی پیدا کنید. روشهای مختلفی برای اینکار هست که آنها را به مرور می آموزید.

همچنین برای مسائلی که اثبات (رسیدن به حکم) آنها بوسیله همهنشتی مثلث ها ممکن است به طور خلاصه پنج مرحله زیر پیشنهاد می شود:

قبل از حل تمرین های صفحه 51 و 52 یک نکته (قضیه) مهم در صفحه 50 آورده شده است که دانش آموزان عزیز باید به کمک مراحل بالا آن را اثبات کنند.

در یک دایره اگر دو کمان برابر باشند، وترهای نظیر آنها با هم برابرند و اگر دو وتر برابر باشند، کمان های نظیر آنها نیز با هم برابرند.  

شکل های متشابه

کتاب با آوردن دو تصویر زیر، از دانش آموزان می خواهد تفاوت آنها را پیدا کنند و با این توصیف، شکل های مثل هم را در ذهنشان تجسم می کند.

تصویر صفحه 53 کتاب ریاضی نهم

نتیجه: هرگاه در دو چندضلعی همه ضلع ها به یک نسبت تغییر کرده باشد (کوچک یا بزرگ شده، و یا بدون تغییر باشد.) و اندازهٔ زاویه ها تغییر نکرده باشد، آن دو چند ضلعی با هم متشابهند. و  به نسبت دو ضلع متناظر در دو شکل متشابه، نسبت تشابه می گویند.

تمرین های صفحه 57 و 58 سعی کرده است هم به ارتباط تشابه با همنهشتی مثلث ها بپردازد و هم با آوردن موضوع مقیاس در نقشه به نحوی کاربرد ریاضی با مسائل روزمره را بیان کرده است.

 

تعریف های مورد نیاز این فصل:

• ارتفاع: خطی که از یک رأس بر ضلع مقابل یا امتداد آن عمود می شود.
• عمود منصف: خطی که در مثلث بر یک ضلع عمود است و آن را نصف می‌کند.
• نیمساز: خطی که زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.
• میانه: خطی که از رأس به وسط ضلع مقابل وصل می شود.

.

.

.

آموزش مرتبط : فیلم آموزشی تدریس ریاضی نهم - فصل سوم (کلیک کنید...)

توجه: دانش آموزان عزیز توجه داشته باشید که برای یادگیری بهتر و موفق شدن در امتحان ریاضی پایه نهم بهتر است خودتان روی تمرینات و سوالات خوب فکر کنید و سعی کنید جوابی برای آنها پیدا کنید و در مرحله آخر سراغ جواب بروید. سریعا پاسخ را نگاه نکنید. ابتدا خودتان جوابی بنویسید و بعد راه حل درست را نگاه کنید.

.

.

.

دانلود رایگان راهنمای حل المسائل ریاضی نهم فصل 3

(پسورد فایل Donyaha.ir : PDF)

 پاسخنامه، شرح و توضیحات کلیه تمرینات، پرسش، دوره متوسطه به صورت تکمیلی کامل پی دی اف منتشران pdf

گردآورنده: دنیاها، دانشنامۀ فارسی | www.donyaha.ir