یاکوب برنولی

یاکوب برنولی ریاضیدان (یکی از ریاضیدانان برجسته خانواده برنولی) و فیزیکدان سوییسی بود. برنولی پیشرفت‌های قابل توجهی در حساب دیفرانسیل و انتگرال که توسط نیوتن و لایبنیتس اختراع شد، ایجاد کرد و یکی از طرفداران لایب‌نیتس بود. او به همراه برادرش یوهان یکی از بنیان‌گذاران «حساب تغییرات» بود. او همچنین ثابت ریاضی e (که به عدد اویلر هم معروف است) را کشف کرد و تکنیک‌هایی را برای حل معادلات دیفرانسیل توسعه داد. با این حال، مهمترین سهم او در زمینه احتمال بود.

خانواده‌اش از دست اذیت‌های حاکمان اسپانیایی هلند، به منطقه بلژیک پناه برده بودند. فیلیپ (پادشاه اسپانیا) دوک آلبا را در سال 1567 با یک ارتش بزرگ برای سرکوبی مخالفان قانون اسپانیایی و برای تحمیل کاتولیک رومی به مردم همچنین گماردن مامورانش به هلند فرستاد. آلبا انجمن تروبلس را که به صورت دادگاه بود برپا کرد. این دادگاه بیش از 12000 نفر را محکوم کرد و البته خانواده‌هایی (مانند خانواده برنولی) که بر آیین پروتستان بودند از کشور گریختند.

زندگی و ازدواج

یاکوب در ۲۷ دسامبر۱۶۵۴ میلادی در شهر بازل به دنیا آمد.  پدرش، نیکولاس برنولی ادویه‌چی بودن را از پدرش به ارث برده بود. کارش در آمستردام و بعدها در بازل توسط پدرش مدیریت می‌شد.

نیکولاس برنولی بواسطه عضویت درانجمن شهروند مهمی به حساب می آمد. مادر یاکوب برنولی هم اصالتاً از یک خانواده بازلی مهم بود که بانکداری می‌کردند و عضو انجمن‌های محلی بودند. یاکوب برنولی برادر یوهان برنولی و عموی دانیل برنولی بود. والدینش او را مجبور کرده بودند که فلسفه والهیات بخواند که به شدت او را ناراحت می‌کرد. با این وجود او با درجه عالی از دانشگاه بازل در رشته فلسفه در سال 1671 فارغ‌التحصیل شد و لیسانس الهیات را در سال 1676 اخذ کرد. در مدتی که ژاکوب برنولی مدارج دانشگاهی‌اش را می‌گرفت مشغول مطالعه ریاضیات و نجوم بود. البته این عمل او موافق طبع پدر و مادرش نبود. شایان ذکر است که او نمونه معمولی از خانواده برنولی بود که علیرغم فشار زیاد برای انجام کار در سایر رشته ها، رشته ریاضیات را مطالعه کرد. با این حال یاکوب برنولی برای اولین بار در این راه قدم گذاشت و در واقع این زمینه برای او کمی متفاوت بود.

چون قبل از او هیچ کس از خانواده برنولی‌ها ریاضیات را انتخاب نکرد. بعدها اعضای خانواده برنولی بیشتر تحت تأثیر این سنت مطالعه ریاضیات و فیزیک ریاضی قرار گرفتند. در سال 1676 (بعد از دریافت مدرک الهیات) برنولی به ژنو نقل مکان کرد و در آنجا به عنوان مربی مشغول به کار شد. او سپس با گذراندن مطالعه دو ساله همراه با مریدان دسکارتز که در آن زمان توسط مالبرانچ راهنمایی می‌شدند به فرانسه سفرکرد.

یاکوب برنولی

او در سال 1685 به هلند سفرکرد و ریاضیدانان زیادی را ملاقات کرد که یکی از آنها هاد (Hudde) بود. او در حالی که مطالعاتش را همراه با سرشناس‌ترین ریاضیدانان و دانشمندان اروپا ادامه می‌داد به انگلستان سفر کرد و در بین بقیه بویل و هوک را ملاقات کرد. در این زمان او به شدت مجذوب نجوم بود و کاری کرد که حاصلش نظریه نه جندان دقیق در مورد ستارگان دنباله‌دار بود. نتیجه سفرهای برنولی این بود که شروع به تطبیق با ریاضیدانانی بکند که سالیان زیادی اینکار را کرده بودند.

یاکوب برنولی درسال 1683 به سوییس برگشت و مشغول تدریس مکانیک در بازل شد. سخنرانی‌های مهمی در زمینه مکانیک جامد و مایع ایراد کرد. با وجود اینکه مدرک برنولی الهیات بود و طبیعتاً باید به کلیسا برمی‌گشت ولی او این مدرک را نادیده گرفت. عشق واقعی او به ریاضیات و فیزیک نظری بود و این موارد، زمینه‌هایی بودند که او درباره آنها سخنرانی و تحقیق می‌کرد.
در طول این مدت او آثار برجسته ریاضیات شامل موارد هندسه دسکارتز و ون شوتن را از روی نسخه لاتین مطالعه می‌کرد. یاکوب برنولی همچنین آثار Wallis و Barrow را مطالعه کرد و مشتاق هندسه ریز (هندسه خرد) شد. او شروع به نوشتن و انتشار در مجله ActaEruditorum شد که در سال 1682 در lapzig چاپ و منتشر می‌شد.

او در سال 1682 یاکوب برنولی با جودیس استپانوس ازدواج کرد. آنها صاحب دو فرزند شدند. یک پسر بچه که نام پدربزرگش نیکولاس را بر او گذاشتند و یک دختر بچه. این بچه ها برخلاف خانواده برنولی به تحصیل ریاضیات و فیزیک ادامه ندادند.

رابطه برادری

یکی از مهم‌ترین اتفاقات مطالعات ریاضی برنولی زمانی اتفاق افتاد که برادر کوچکترش (یوهان برنولی) شروع به کار در زمینه ریاضیات کرد، یوهان توسط پدرش توصیه به مطالعه پزشکی شده بود اما او از برادرش خواهش کرد که به او ریاضیات بیاموزد. یاکوب برنولی در سال 1687 پروفسور ریاضیات در بازل شناخته شده بود و دو برادر شروع به مطالعه محاسباتی کردند. همانطور که لایبنیز در سال 1684 طی مقاله‌ای درباره محاسبات دیفرانسیلی Nova Methods Pro Maximis et Minimis… در مجله Acta Eruditorum آورده است. آنها همچنین آثار Von Tschirnhaus را مطالعه کردند. اینکه آثار لایبنیتز درمورد محاسبات ریاضی بسیار سردرگم و گنگ بود کاملاً واضح است که برنولی‌ها اولین افرادی بودند که برای درک و کاربرد این نظریه‌ها سعی کردند.
علیرغم اینکه یاکوب و یوهان هر دو در یک زمینه مشابه کار می‌کردند اما رابطه آنها از یک همکار به یک رقیب تبدیل شد. خودستایی‌های یوهان برنولی باعث شد که یاکوب به وی بتوپد. ژاکوب نوشته بود که یوهان مثل شاگرد اوست و تمام دستاورد او درواقع تکرار چیزهایی است که ژاکوب به او یاد داده است، البته این کاملاً ناعادلانه بود. یاکوب مخصوصاً بعد از سال 1697 طی یک چاپ که بدنام کننده و در یک قالب غیر ضروری بود، به تاختن به برادرش ادامه داد. با این وجود یاکوب انتقاد در ملأ عام را ترک نکرد. او از پرسنل دانشگاه ایراد می‌گرفت و دوباره بیانات انتقادآمیز ایراد می‌کرد (همانطور که انتظار می‌رفت) برادرش را در شرایط سخت دانشگاه ترک کرد.

شاید ژاکوب احساس کرده بود که یوهان ریاضیدان قویتری از اوست و چون ذاتاً انتظار تحسین از دیگران داشت این احساس او را اذیت می‌کرد. همانطور که هافمن در نوشته‌هایش آورده است.

حساسیت، بدخلقی، ولع متقابل برای انتقاد، تمایل زیاد دو برادر در نشان دادن این بیگانگی بین دو برادر واضح بود. گرچه یاکوب ملایم تربود وخردمندانه عمل می کرد.
همانطور که در اینجا آمده است هر دو برادر در بگو مگو کردن به یک اندازه مقصر بودند، یوهان سمت استادی ریاضیات بازل را می‌خواست اما یاکوب این کرسی را برای خود حفظ می‌کرد و مطمئناً از اینکه آخر سر مجبور شد در سال 1695 به هلند نقل مکان کند ناراحت و سرخورده بود، این در واقع فاکتور مکمل در به هم خوردن رابطه بین دو برادر در سال 1697 بود.

البته مشاجره دو برادر نشان دهنده حماقت خاص آنها بود. زیرا هر دو برای علم ریاضیات جانفشانی می‌کردند که خیلی با اهمیت‌تر بود، اینکه رقابت بین آن دو آنها را به موضوعات بزرگتری سوق می‌داد یا در صورت ادامه همکاری آنها به دستاوردهای بزرگتری می‌رسیدند قابل تشخیص نیست. ما اکنون به بررسی چند کار ژاکوب برنولی در پیشرفت مراحل مهم ریاضیات لایبنیتز در محاسبات می‌پردازیم.

کارهای او

نخستین اثر ژاکوب برنولی انتشار جزوه‌ای در مورد منطق و جبر موازی در سال 1685، احتمالات در سال 1685، هندسه در سال 1687 بود. نتیجه هندسه او یک ساختار را به دست می‌داد که توسط دو خط عمود بر هم می‌توان یک مثلث را به چهار بخش مساوی تقسیم کرد. او در سال 1689 اثر مهمی در سری‌های نامتناهی و قاعده اعداد بزرگ در نظریه احتمالات را منتشر کرد، تعبیر احتمالات به عنوان فرکانس نسبی بیانگر آن است که اگر آزمایشی را به دفعات زیادی انجام دهیم آنگاه فرکانس نسبی با هر رخداد برابر با احتمال وقوع ان رخداد است. قاعده اعداد بزرگ تعبیر ریاضی از این نتیجه است. یاکوب برنولی طی سال های 1682 تا 1704، پنج رساله درمورد سری‌های نامجدود ارائه کرد. دو رساله حاوی نتایج ارزشمندی از قبیل پایه و اساس اینکه همگراست، بود. گرچه اعتقاد برنولی جدید بود ولی طی چهل سال بعد توسط Mengoli اثبات شد. برنولی نتوانست فرم بسته‌ای برای پیدا کند. اما نشان داد که این سری باید به یک عدد کمتر از دو همگرا باشد. اویلر اولین کسی بود که حاصل جمع این سری را در سال 1737 پیدا کرد. او همچنین سری‌های توانی را مورد مطالعه قرار داد و از آزمایش آنها به خیلی چیزهای مرکب علاقه پیدا کرد.

تمبر یادبود سوئیس از ریاضیدان یاکوب برنولی که در سال 1994 منتشر شد، فرمول و نمودار قانون اعداد بزرگ را نشان می‌دهد که اولین بار توسط برنولی در سال 1713 اثبات شد.

او در می سال 1690 طی مقاله چاپ شده در Acta Eruditorum نشان داد که برای حل مسئله تعیین ایزوکرون (isochrone) باید یک معادله دیفرانسیل غیر خطی درجه یک را حل کرد. ایزوکرون یا منحنی با شیب ثابت، منحنی حرکت (نزول) یک ذره از نقطه نا مشخص تا کف تحت نیروی گرانش است که نقطه شروع حرکت مهم نیست. این موضوع در سال 1687 توسط Huygens و در سال 1689 توسط لایبنیز مورد مطالعه قرار گرفته است. پس از پیدا کردن معادله دیفرانسیل برنولی آن را با روش تفکیک متغیرها حل کرد، مقاله یاکوب برنولی در تاریخ محاسبات و در سال 1690 از آنجا که علامت انتگرال با مفهوم جمع کننده برای اولین بار آمده بود مهم و باارزش است. در سال 1696 برنولی معادله‌ای که امروز به معادله برنولی معروف است را حل کرد.

و هافمن این بخش از کار او را چنین توضیح داد:

کار حیاتی و دقیق برنولی روی مسایل قدیمی همانند آثار همزمان او روی ریاضیات نامحدود و همچنین پشتکار و قابلیت تحلیل او بر روی مسایل خاص مرتبط با هم حتی از نوع مکانیکی و دینامیکی ثابت شده است.

یاکوب برنولی همچنین یک متد اصلی برای تعیین محاسبه منحنی از روی شیب دوایر انحنای آن پیدا کرد. او همچنین منحنی‌های خورنده و منحنی‌های مرتبط با پارابولا ،به پیچه‌های لگاریتمی و epicycloids around را در سال 1692 مورد مطالعه و تحقیق قرار داد. Lemniscate Bernoulli اولین بار توسط برنولی در سال 1694مطالعه شد. در سال 1695 مسئله «پل» را مورد مطالعه قرار داد و از مطالعاتش در مورد منحنی‌های آن دریافت که وزن سرخورنده بر روی کابل های پل همواره پل را در حالت متعادل نگه می‌دارد.

اغلب کارهای یاکوب برنولی در Ars Conjectandi بود که سال 1713 (هشت سال پس از مرگ وی) منتشر شد. این کارش در هنگام مرگ او ناتمام بود اما هنوز هم یک مفهوم بزرگ در نظریه احتمالات است. برنولی آثار سایرین در مورد احتمالات را در کتاب‌ها خواند، مخصوصاً آثار van Schooten و لایبنیز و Prestet را مطالعه کرد. اعداد برنولی در کتابی پیرامون سری‌های نمایی آمده است. مثال‌های زیادی در مورد احتمال برد در بازی‌های مختلف در آن کتاب آمده است. مطالب جالب زیاد در مورد احتمالات وجود دارد:
.... احتمال مثل درجه قابل اندازه‌گیری از اطمینان، ضرورت و شانس، یک توقع متقابل ریاضی، یک قیاس از احتمال استقرایی، انتظار پیروزی است، وقتی که بازیکن‌ها برحسب چیره دست بودن تقسیم شوند در نظر گرفتن کلیه استدلال‌ها و ارزش آنها و محایبات قابل تعیین آنهاست. اعداد بزرگ....

عدد (ثابت) e

برخی مواقع به e، به یاد لئونارد اویلر، عدد اویلر، یا به یاد جان نپر، ثابت نپر (Napier's Constant) نیز گفته می‌شود. با این حال، حرف e را که اویلر برای نمایش این ثابت انتخاب کرد، به افتخارش نگه داشتند. این ثابت توسط ریاضیدان سوئیسی، یاکوب برنولی (یا جیکوب برنولی)، طی مطالعه «بهره مرکب» کشف شد. کسی که تلاش می‌کرد مقدار عبارت زیر را محاسبه کند (که در حقیقت همان e است):

نامساوی برنولی

بسیاری از نامساوی‌های مطرح در ریاضیات برمبنای نامساوی برنولی اثبات یا نوشته شده‌اند. برنولی سعی داشت به کمک یک رابطه ریاضی، کران بالایی برای معادله ساده بسازد.

در آنالیز حقیقی، نابرابری برنولی نابرابری ای است که توان های 1 + x را تخمین می زند.

این نابرابری بیان می کند که برای هر عدد صحیح مانند r که r ≥ 0 و هر عدد حقیقی مانند x که x ≥ −1 داریم:

اگر r زوج باشد آنگاه نابرابری برای تمام اعداد حقیقی x برقرار است.

از نابرابری برنولی معمولاً به عنوان یک پله مهم در اثبات دیگر نابرابری‌ها در ریاضیات استفاده می‌شود. خود این نابرابری نیز را می‌توان به کمک استقرای ریاضی اثبات کرد.

نامساوی برنولی
نابرابری برنولی

هافمن دستاوردهای یاکوب برنولی را این چنین جمع بندی کرده است:

برنولی پیشرفت بزرگی در جبر، در محاسبات بینهایت کوچک و در محاسبات متغیرها، مکانیک ونظریه سری‌ها و نظریه احتمالات ایجاد کرد. او فردی خود رأی، کله شق، کینه‌جو، پست و شدیداً راضی از قابلیت‌های خود بود. با وجود این شخصیت او مجبور به قطع رابطه با برادر مستعد خود بود. اوبعدها هم همان شرایط را به کار برد.
برنولی یکی ازمهم‌ترین پایه‌گذاران متدهای رسمی در آنالیزهای درجه بالا بود. زیرکی و ریزه‌کاری به ندرت در متدهایش و آزمایشاتش دیده می‌شود. اما نهایت امانت و درستی در کارهایش به چشم می‌خورد.

مرگ او

یاکوب برنولی در ۱۶ اوت ۱705 میلادی در حالیکه از بیماری سل رنج می برد، درگذشت. برنولی تا مرگ خویش کرسی ریاضیات بازل را دراختیار داشت تا اینکه بعد از مرگش برادر او یوهان آن را تصاحب کرد، یاکوب همچنین خواص پیچه‌های لگاریتمی را پیدا کرد که تقریباً جادویی هستند. او تقاضا کرده بود روی سنگ قبرش عبارت زیر حک شود. 

«من باید برخیزم که نظر قبلی‌ام عوض شده است»

گردآورنده: دنیاها، دانشنامۀ فارسی | www.donyaha.ir

دنیاها

بازیگران هندی